Qual è la formula per calcolare combinazioni e permutazioni? L'articolo ti guiderà nel calcolo delle combinazioni e di altre formule correlate.
Permutazioni e combinazioni sono i concetti più basilari della matematica che implicano la selezione di elementi da un gruppo o da un insieme.
Sommario
Dato un insieme A con n elementi e dato un intero k, (1 ≤ k ≤ n). Ogni sottoinsieme di A con k elementi è detto combinazione k-fold di n elementi di A.
Formula di combinazione K di n
Formula per le proprietà di una combinazione:
Esempi di combinatoria
Esempio 1:
Un gruppo di 12 studenti. Quanti modi ci sono:
a) Scegli 2 rappresentanti per il gruppo
b) Scegliere 2 persone e assegnargli le posizioni di caposquadra e vice caposquadra.
c) Dividere il gruppo in 2 gruppi, nei quali il capogruppo e il vice capogruppo siano in gruppi diversi.
Soluzione
a) Scegli 2 amici tra 12 che sono combinazioni di 2 su 12: C122 = 66 modi.
b) Scegli 2 persone e assegna loro il compito di combinare 2 di 12: A122 = 132 modi.
c) Dividere il gruppo in 2 gruppi, ciascuno composto da 6 membri.
In cui il caposquadra e il vice caposquadra sono in gruppi diversi.
Scegli 5 amici tra i restanti 10 per farli entrare nello stesso gruppo del caposquadra: C105 = 252 modi.
Tra le 5 persone rimanenti, scegli 5 persone che facciano parte dello stesso gruppo del vice leader: C55 = 1 direzione.
Quindi ci sono 252,1 = 252 modi.
Dato un insieme A con n elementi e dato un intero k, (1 ≤ k ≤ n). Quando prendiamo k elementi di A e li disponiamo in un ordine, otteniamo una perturbazione k-fold di n elementi di A (detta perturbazione n-fold di k di A).
Il numero di k-permutazioni di un insieme con n elementi è:
Formula di permutazione:
Per esempio:
Dalle cifre da 0 a 9. In quanti modi si può formare un numero naturale tale che:
a) Numero con 6 cifre diverse
b) Un numero con 6 cifre diverse e divisibile per 10
c) I numeri dispari hanno 6 cifre diverse.
Soluzione
a) Crea un numero con 6 cifre diverse
Scegli la prima cifra dai numeri da 1 a 9: ci sono 9 modi per scegliere
Le cifre rimanenti sono la quinta permutazione dei restanti 9 numeri (diversi dalla prima cifra) con A95
Quindi ci sono 9A95 = 136080 numeri.
b) Un numero con 6 cifre diverse e divisibile per 10
Scegli la cifra unitaria: c'è 1 modo per scegliere la cifra 0
Scegli le cifre rimanenti come quinta permutazione dei 9 numeri rimanenti (diversi dalla cifra 0) con A95
Quindi ci sono A95 = 15120 numeri.
c) Sia il numero 
un numero dispari con 6 cifre diverse, comprese tra 0 e 9.
Poiché è dispari, f ∈{1; 3; 5; 7; 9}
Scegli f: ci sono 5 modi per scegliere
Seleziona una delle cifre {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}\{f}: ci sono 8 modi per scegliere
Scegli b, c, d, e come il complesso 4 delle 8 cifre rimanenti (diverse da f e a): abbiamo A84
Quindi ci sono 5.8A84 = 67200 numeri.
a) Definizione:
- Dato un insieme A di n elementi (n ≥ 1).
Ogni risultato di un ordinamento di n elementi di un insieme A è detto permutazione di n elementi.
- Nota: le due permutazioni di n elementi differiscono solo nell'ordine in cui sono disposte.
b) Numero di permutazioni:
- Il simbolo Pn è il numero di permutazioni di n elementi.
Formula di permutazione:
Pn = n(n – 1)…2,1 = n!
Convenzione: 0! = 1; 1! = 1.
Ad esempio: disponete 10 persone, di cui 5 ragazzi e 5 ragazze, su una panchina. Quanti modi ci sono per fare in modo che:
a) Ordina qualsiasi
b) I ragazzi si siedono uno accanto all'altro
c) I ragazzi e le ragazze siedono alternativamente.
Soluzione
a) Il numero di modi in cui si possono disporre 10 persone su una panchina è una permutazione di 10:10!
b) Fate sedere i ragazzi uno accanto all'altro. Mettiamo 5 ragazzi in un "branco": sono 5! come disporre all'interno del "pacchetto"
Quindi disponi 5 ragazze insieme in un "gruppo" su una panchina con: 6! come organizzare
Quindi sono 5! . 6! = 86400 modi per far sedere i ragazzi uno accanto all'altro.
c) Supponiamo che 10 persone siano disposte su panche numerate da 1 a 10.
Per alternare ragazzi e ragazze
+ Caso 1: I ragazzi siedono in posizioni strane, le ragazze in posizioni pari
Numero di modi per disporre i ragazzi: 5!
Numero di modi per disporre le ragazze: 5!
Quindi sono 5! . 5! come organizzare
+ Caso 2: I ragazzi siedono in posizioni pari, le ragazze in posizioni dispari
Simile al caso precedente, ne abbiamo 5! . 5! come organizzare
Quindi sono 2,5! . 5! = 28800 modi per organizzare.
Differenza tra permutazione e combinazione
La differenza tra permutazione e combinazione può essere compresa attraverso la seguente tabella:
|
Permutazione |
Combinazione |
|
Nelle permutazioni, l'ordine di disposizione è molto importante. Ad esempio, AB e BA sono combinazioni diverse. |
In combinazione, l'ordine di disposizione non ha importanza. Ad esempio, AB e BA sono combinazioni simili. |
|
Una permutazione viene utilizzata quando è necessario ordinare o classificare diversi tipi di materia. |
Le combinazioni si utilizzano quando si devono disporre oggetti dello stesso tipo. |
|
Permutazione di due cose su tre cose date a, b, c sono ab, ba, bc, cb, ac, ca. |
Una combinazione è la combinazione di due cose da tre cose date. a, b, c sono ab, bc, ca. |
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