Risolvere equazioni quadratiche
Un'equazione quadratica è un'equazione della forma (a≠0) (1).
Poiché x è la variabile sconosciuta e c'è una sola incognita, viene anche chiamata equazione a "variabile singola". I numeri a, b e c sono numeri noti, chiamati coefficienti dell'equazione; possono essere distinti chiamandoli rispettivamente: coefficiente quadratico, coefficiente del primo ordine e coefficiente libero o costante.
Un'equazione quadratica è un tipo di equazione polinomiale; contiene solo potenze di x che sono numeri naturali.
Risolvere un'equazione quadratica significa trovare i valori di x in modo che quando x viene sostituito nell'equazione (1), sia soddisfatto ax2+bx+c=0. Esistono quattro metodi comuni per risolvere le equazioni quadratiche: fattorizzazione; metodo della radice quadrata; utilizzare la formula radice; grafico.
Passaggio 1: calcolare Δ=b2-4ac
Passaggio 2: confronta Δ con 0
E
Se è la soluzione dell'equazione allora
Se esistono due numeri, allora sono soluzioni dell'equazione , (esiste quando)
Esempio 1: Risolvi la seguente equazione quadratica: x2 - 49x - 50 = 0
Guida alle soluzioni
Metodo 1: utilizzare la formula della radice (a = 1; b = -49; c = -50)
Poiché ∆ > 0, l'equazione ha due soluzioni distinte.
Metodo 2: Calcolo mentale
Poiché a – b + c = -1 – (-49) + (-50) = 0
Quindi l'equazione ha due soluzioni.
Metodo 3:
Secondo il teorema di Viet abbiamo:
Quindi l'equazione ha due soluzioni:
Esempio 2: Risolvi l'equazione 4x2 - 2x - 6 = 0 (2)
Δ=(-2)2 - 4.4.(-6) = 4 + 96 = 100 > 0 => l'equazione data (2) ha 2 soluzioni distinte.
E
Puoi anche calcolare velocemente la soluzione mentalmente, perché vedi che 4-(-2)+6=0, quindi x1 = -1, x2 = -c/a = -(-6)/4=3/2. La soluzione è la stessa di cui sopra.
Esempio 3: Risolvi l'equazione 2x2 - 7x + 3 = 0 (3)
Calcola Δ = (-7)2 - 4.2.3 = 49 - 24= 25 > 0 => (3) ha 2 soluzioni distinte:
E
Verificare se la soluzione è stata calcolata correttamente è molto semplice: basta sostituire x1, x2 nell'equazione 3, a turno; se il risultato è 0, allora è corretto. Ad esempio, sostituisci x1, 2,32-7,3+3=0.
Esempio 4: Risolvi l'equazione 3x2 + 2x + 5 = 0 (4)
Calcola Δ = 22 - 4.3.5 = -56 < 0=""> l'equazione (4) non ha soluzione.
Esempio 5: Risolvi l'equazione x2 – 4x +4 = 0 (5)
Calcola Δ = (-4)2 - 4.4.1 = 0 => l'equazione (5) ha una doppia soluzione:
In realtà, se sei sveglio, puoi anche vedere che questa è l'identità memorabile (ab)2 = a2 - 2ab + b2, quindi è facile riscrivere (5) come (x - 2)2 = 0 <=> x=2.
Se l'equazione (1) ha due soluzioni distinte x1, x2, puoi sempre scriverla nella seguente forma: ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2) = 0.
Tornando all'equazione (2), dopo aver trovato 2 soluzioni x1, x2, la si può scrivere nella forma: 4(x-3/2)(x+1)=0.
1. Equazione con soluzione
2. Equazione senza soluzione
3. L'equazione ha un'unica soluzione (soluzione doppia o due soluzioni uguali)
4. L'equazione ha due soluzioni distinte (diverse).
5. L'equazione ha due soluzioni con lo stesso segno.
6. L'equazione ha due soluzioni di segno opposto.
7. L'equazione ha due radici positive (due radici maggiori di 0)
8. L'equazione ha due radici negative (due radici minori di 0)
9. L'equazione ha due soluzioni opposte.
10. Due soluzioni inverse
Cose da ricordare:
Insieme all'equazione quadratica, esiste anche il teorema di Viet con numerose applicazioni, come il calcolo mentale delle radici dell'equazione quadratica menzionata sopra, la ricerca di 2 numeri conoscendo la somma e il prodotto, la determinazione dei segni delle radici o la scomposizione in fattori. Si tratta di conoscenze necessarie che ti saranno utili nel processo di apprendimento dell'algebra o negli esercizi di risoluzione e discussione delle equazioni quadratiche successivi, quindi devi ricordarle attentamente e metterle in pratica fluentemente.
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