Come risolvere unequazione quadratica

Risolvere equazioni quadratiche

• A. Che cos'è un'equazione quadratica?
• B. Risolvere equazioni quadratiche
• C. Risolvere mentalmente le equazioni quadratiche
• D. Utilizzando la formula Viet-et
  • Teorema di Vieta
  • Teorema inverso di Viet-et
• E. Esempio di risoluzione di un'equazione quadratica
• F. Fattorizzazione
• G. Risoluzione di equazioni quadratiche contenenti parametri

A. Che cos'è un'equazione quadratica?

Un'equazione quadratica è un'equazione della forma (a≠0) (1).

Poiché x è la variabile sconosciuta e c'è una sola incognita, viene anche chiamata equazione a "variabile singola". I numeri a, b e c sono numeri noti, chiamati coefficienti dell'equazione; possono essere distinti chiamandoli rispettivamente: coefficiente quadratico, coefficiente del primo ordine e coefficiente libero o costante.

Un'equazione quadratica è un tipo di equazione polinomiale; contiene solo potenze di x che sono numeri naturali.

Risolvere un'equazione quadratica significa trovare i valori di x in modo che quando x viene sostituito nell'equazione (1), sia soddisfatto ax2+bx+c=0. Esistono quattro metodi comuni per risolvere le equazioni quadratiche: fattorizzazione; metodo della radice quadrata; utilizzare la formula radice; grafico.

B. Risolvere equazioni quadratiche

Passaggio 1: calcolare Δ=b2-4ac

Passaggio 2: confronta Δ con 0

• Δ < 0=""> L'equazione (1) non ha soluzione
• Δ = 0 => l'equazione (1) ha doppia soluzione
• Δ > 0 => l'equazione (1) ha 2 soluzioni distinte, utilizziamo la seguente formula di soluzione :

E

C. Risolvere mentalmente le equazioni quadratiche

• Se l'equazione ha a + b + c = 0 allora l'equazione ha una soluzione.
• Se l'equazione ha a - b + c = 0 allora l'equazione ha la soluzione:

D. Utilizzando la formula Viet-et

Teorema di Vieta

Se è la soluzione dell'equazione allora

Teorema inverso di Viet-et

Se esistono due numeri, allora sono soluzioni dell'equazione , (esiste quando)

E. Esempio di risoluzione di un'equazione quadratica

Esempio 1: Risolvi la seguente equazione quadratica: x2 - 49x - 50 = 0

Guida alle soluzioni

Metodo 1: utilizzare la formula della radice (a = 1; b = -49; c = -50)

Poiché ∆ > 0, l'equazione ha due soluzioni distinte.

Metodo 2: Calcolo mentale

Poiché a – b + c = -1 – (-49) + (-50) = 0

Quindi l'equazione ha due soluzioni.

Metodo 3:

Secondo il teorema di Viet abbiamo:

Quindi l'equazione ha due soluzioni:

Esempio 2: Risolvi l'equazione 4x2 - 2x - 6 = 0 (2)

Δ=(-2)2 - 4.4.(-6) = 4 + 96 = 100 > 0 => l'equazione data (2) ha 2 soluzioni distinte.

E

Puoi anche calcolare velocemente la soluzione mentalmente, perché vedi che 4-(-2)+6=0, quindi x1 = -1, x2 = -c/a = -(-6)/4=3/2. La soluzione è la stessa di cui sopra.

Esempio 3: Risolvi l'equazione 2x2 - 7x + 3 = 0 (3)

Calcola Δ = (-7)2 - 4.2.3 = 49 - 24= 25 > 0 => (3) ha 2 soluzioni distinte:

E

Verificare se la soluzione è stata calcolata correttamente è molto semplice: basta sostituire x1, x2 nell'equazione 3, a turno; se il risultato è 0, allora è corretto. Ad esempio, sostituisci x1, 2,32-7,3+3=0.

Esempio 4: Risolvi l'equazione 3x2 + 2x + 5 = 0 (4)

Calcola Δ = 22 - 4.3.5 = -56 < 0=""> l'equazione (4) non ha soluzione.

Esempio 5: Risolvi l'equazione x2 – 4x +4 = 0 (5)

Calcola Δ = (-4)2 - 4.4.1 = 0 => l'equazione (5) ha una doppia soluzione:

In realtà, se sei sveglio, puoi anche vedere che questa è l'identità memorabile (ab)2 = a2 - 2ab + b2, quindi è facile riscrivere (5) come (x - 2)2 = 0 <=> x=2.

F. Fattorizzazione dei polinomi

Se l'equazione (1) ha due soluzioni distinte x1, x2, puoi sempre scriverla nella seguente forma: ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2) = 0.

Tornando all'equazione (2), dopo aver trovato 2 soluzioni x1, x2, la si può scrivere nella forma: 4(x-3/2)(x+1)=0.

G. Risoluzione di equazioni quadratiche contenenti parametri

1. Equazione con soluzione

2. Equazione senza soluzione

3. L'equazione ha un'unica soluzione (soluzione doppia o due soluzioni uguali)

4. L'equazione ha due soluzioni distinte (diverse).

5. L'equazione ha due soluzioni con lo stesso segno.

6. L'equazione ha due soluzioni di segno opposto.

7. L'equazione ha due radici positive (due radici maggiori di 0)

8. L'equazione ha due radici negative (due radici minori di 0)

9. L'equazione ha due soluzioni opposte.

10. Due soluzioni inverse

Cose da ricordare:

Insieme all'equazione quadratica, esiste anche il teorema di Viet con numerose applicazioni, come il calcolo mentale delle radici dell'equazione quadratica menzionata sopra, la ricerca di 2 numeri conoscendo la somma e il prodotto, la determinazione dei segni delle radici o la scomposizione in fattori. Si tratta di conoscenze necessarie che ti saranno utili nel processo di apprendimento dell'algebra o negli esercizi di risoluzione e discussione delle equazioni quadratiche successivi, quindi devi ricordarle attentamente e metterle in pratica fluentemente.

Se intendi studiare programmazione , dovrai anche avere conoscenze matematiche di base, anche avanzate, a seconda del progetto che andrai a svolgere.