Che cosa è una funzione pari? Cosè una funzione dispari?

Che cosa è una funzione pari ? Non solo le funzioni pari , anche le funzioni dispari sono di grande interesse. Impariamo insieme questi due concetti!

In matematica le funzioni possono essere classificate in pari e dispari in base alla loro simmetria lungo l'asse. Una funzione pari è una funzione che rimane costante quando il suo input viene negato (l'output è lo stesso per x e -x), riflettendo la simmetria attorno all'asse y. D'altro canto, una funzione dispari diventa negativa quando il suo input viene negato, esibendo simmetria attorno all'origine. Una funzione f è pari se f(-x) = f(x), per tutti gli x nel dominio di f. Una funzione f è una funzione dispari se f(-x) = -f(x) per tutti gli x nel dominio di f, cioè:

• Funzione uniforme:f(-x) = f(x)
• Funzione dispari:f(-x) = -f(x)

In questo articolo parleremo in dettaglio delle funzioni pari e dispari, della definizione di funzioni pari e dispari, delle funzioni pari e dispari in trigonometria, del grafico delle funzioni pari e dispari e di molti altri contenuti e informazioni che devi conoscere.

Sommario

• Che cosa è una funzione pari?
• Cos'è una funzione dispari?
• Grafico delle funzioni pari e dispari
• Cos'è una funzione che non è né pari né dispari?
• Ricorda una comune funzione pari-dispari
• Come determinare le funzioni pari e dispari
• Esercizi sull'esame della parità delle funzioni

Che cosa è una funzione pari?

La funzione y = f (x) con dominio D si dice funzione pari se soddisfa le due condizioni seguenti:

• ∀ x ∈ D ⇒ − x ∈ D
• ∀ x ∈ D : f ( − x ) = f ( x )

Ad esempio: la funzione y = x² è una funzione pari.

Cos'è una funzione dispari?

La funzione y = f ( x ) con dominio D è detta funzione dispari se soddisfa le due condizioni seguenti:

• ∀ x ∈ D ⇒ − x ∈ D
• ∀ x ∈ D : f (−x)= − f(x)

Esempio: Esempio: La funzione y = x è una funzione dispari.

Attenzione. La prima condizione è detta condizione di simmetria del dominio attorno a 0.

Ad esempio, D = (-2;2) è un insieme simmetrico rispetto a 0, mentre l'insieme D' = [-2;3] non è simmetrico rispetto a 0.

L'insieme R = (−∞;+∞) è un insieme simmetrico.

Nota: una funzione non deve essere necessariamente pari o dispari.

Ad esempio: la funzione y = 2x + 1 non è né una funzione pari né una funzione dispari perché:

In x = 1 abbiamo f(1) = 2,1 + 1 = 3

In x = -1 abbiamo f(-1) = 2.(-1) + 1 = -1

→ I due valori f(1) e f(-1) non sono né uguali né opposti.

Grafico delle funzioni pari e dispari

Anche le funzioni hanno grafici che prendono l'asse y come asse di simmetria.

La funzione dispari ha un grafico con l'origine O come centro di simmetria.

Cos'è una funzione che non è né pari né dispari?

Non tutte le funzioni possono essere definite pari o dispari. Alcune funzioni non sono né pari né dispari, come ad esempio: y=x²+x, y=tan(x-1),…

Inoltre, esiste un tipo speciale di funzione che è sia pari che dispari. Ad esempio, la funzione y=0

Ricorda una comune funzione pari-dispari

Anche la funzione

y = ax2 + bx + c se e solo se b = 0

Funzione quadratica

y = cosx

y = f(x)

Funzione dispari

y = ax + b se e solo se b = 0

y = ax3 + bx2 + cx + d se e solo se b = d = 0

y = senox; y = tangentex; y = cotx

Alcuni altri casi

F(x) è una funzione pari e ha una derivata sul suo dominio, allora la sua derivata è una funzione dispari.

F(x) è una funzione dispari e ha una derivata sul suo dominio, allora la sua derivata è una funzione pari.

Una funzione polinomiale di grado dispari non è una funzione pari.

Le funzioni polinomiali di grado pari non sono funzioni dispari.

Come determinare le funzioni pari e dispari

Per determinare la funzione pari-dispari, eseguiamo i seguenti passaggi:

Passaggio 1: trova il dominio: D

Se ∀x ∈ D ⇒ -x ∈ D Vai al passaggio tre

Se ∃ x0 ∈ D ⇒ -x0 ∉ D, allora la funzione non è né pari né dispari.

Passaggio 2: sostituire x con -x e calcolare f(-x)

Passaggio 3: esaminare il segno (confrontare f(x) e f(-x)):

° Se f(-x) = f(x) allora la funzione f è pari

° Se f(-x) = -f(x) allora la funzione f è dispari

° Altri casi: la funzione f non ha parità

Esercizi sull'esame della parità delle funzioni

Lezione 4 pagina 39 Libro di testo di Algebra 10: Considerare le proprietà pari-dispari delle seguenti funzioni:

a) y = |x|;

b) y = (x + 2)2;

c) y = x3 + x;

d) y = x2 + x + 1.

Premio

a) Sia y = f(x) = |x|.

° TXĐ: D = R quindi per ∀x ∈ D allora –x ∈ D.

° f(–x) = |–x| = |x| = f(x).

→ Quindi la funzione y = |x| è una funzione pari.

b) Sia y = f(x) = (x + 2)2.

° TXĐ: D = R quindi per ∀x ∈ D allora –x ∈ D.

° f(–x) = (–x + 2)2 = (x – 2)2 ≠ (x + 2)2 = f(x)

° f(–x) = (–x + 2)2 = (x – 2)2 ≠ – (x + 2)2 = –f(x).

→ Quindi la funzione y = (x + 2)2 non è né pari né dispari.

c) Sia y = f(x) = x3 + x.

° TXĐ: D = R quindi per ∀x ∈ D allora –x ∈ D.

° f(–x) = (–x)3 + (–x) = –x3 – x = – (x3 + x) = –f(x)

→ Quindi y = x3 + x è una funzione dispari.

d) Sia y = f(x) = x2 + x + 1.

° TXĐ: D = R quindi per ∀x ∈ D allora –x ∈ D.

° f(–x) = (–x)2 + (–x) + 1 = x2 – x + 1 ≠ x2 + x + 1 = f(x)

° f(–x) = (–x)2 + (–x) + 1 = x2 – x + 1 ≠ –(x2 + x + 1) = –f(x)

→ Quindi la funzione y = x2 + x + 1 non è né pari né dispari.

Esiste una funzione definita su R che sia sia pari che dispari?

Premio:

È facile vedere che la funzione y = 0 è una funzione definita su R, sia pari che dispari.

Supponiamo che la funzione y = f (x) sia una qualsiasi funzione con tali proprietà. Quindi per ogni x in R abbiamo:

F (–x) = f (x) (perché f è una funzione pari);

F (–x) = – f (x) (perché f è una funzione dispari).

Da ciò possiamo dedurre che per ogni x in R, f(x)=−f(x), ovvero f(x)=0. Quindi y=0 è l'unica funzione definita su R, che è sia una funzione pari che dispari.

Domande frequenti sulle funzioni pari e dispari

Cosa sono le funzioni pari e dispari?

Se f(x) = f(−x) per tutti gli x nei loro domini, allora le funzioni pari sono simmetriche rispetto all'asse y. Le funzioni dispari sono simmetriche rispetto all'origine, il che significa che per tutti gli x nel loro dominio, f(−x) = −f(x).

Come sapere se una funzione è pari o dispari?

Una funzione è pari se f(-x) = f(x), ed è dispari se f(-x) = -f(x) per tutti gli elementi nel dominio di f. Se non soddisfa nessuna di queste proprietà, allora non è né pari né dispari.

Qual è la differenza tra funzioni periodiche pari e dispari?

Differenza tra funzioni periodiche pari e dispari: una funzione pari soddisfa f(−x) = f(x) per tutti gli x nel dominio, mentre una funzione dispari soddisfa f(−x) = −f(x).

Oltre alle funzioni pari e dispari, puoi apprendere altre importanti nozioni matematiche come i numeri quadrati , i numeri irrazionali, i numeri razionali , i numeri primi , i numeri naturali ... nella sezione Istruzione di Quantrimang.com.