Che cosa è una funzione pari ? Non solo le funzioni pari , anche le funzioni dispari sono di grande interesse. Impariamo insieme questi due concetti!
In matematica le funzioni possono essere classificate in pari e dispari in base alla loro simmetria lungo l'asse. Una funzione pari è una funzione che rimane costante quando il suo input viene negato (l'output è lo stesso per x e -x), riflettendo la simmetria attorno all'asse y. D'altro canto, una funzione dispari diventa negativa quando il suo input viene negato, esibendo simmetria attorno all'origine. Una funzione f è pari se f(-x) = f(x), per tutti gli x nel dominio di f. Una funzione f è una funzione dispari se f(-x) = -f(x) per tutti gli x nel dominio di f, cioè:
f(-x) = f(x)f(-x) = -f(x)In questo articolo parleremo in dettaglio delle funzioni pari e dispari, della definizione di funzioni pari e dispari, delle funzioni pari e dispari in trigonometria, del grafico delle funzioni pari e dispari e di molti altri contenuti e informazioni che devi conoscere.
Sommario
La funzione y = f (x) con dominio D si dice funzione pari se soddisfa le due condizioni seguenti:
Ad esempio: la funzione y = x² è una funzione pari.
La funzione y = f ( x ) con dominio D è detta funzione dispari se soddisfa le due condizioni seguenti:
Esempio: Esempio: La funzione y = x è una funzione dispari.
Attenzione. La prima condizione è detta condizione di simmetria del dominio attorno a 0.
Ad esempio, D = (-2;2) è un insieme simmetrico rispetto a 0, mentre l'insieme D' = [-2;3] non è simmetrico rispetto a 0.
L'insieme R = (−∞;+∞) è un insieme simmetrico.
Nota: una funzione non deve essere necessariamente pari o dispari.
Ad esempio: la funzione y = 2x + 1 non è né una funzione pari né una funzione dispari perché:
In x = 1 abbiamo f(1) = 2,1 + 1 = 3
In x = -1 abbiamo f(-1) = 2.(-1) + 1 = -1
→ I due valori f(1) e f(-1) non sono né uguali né opposti.
Anche le funzioni hanno grafici che prendono l'asse y come asse di simmetria.
La funzione dispari ha un grafico con l'origine O come centro di simmetria.
Non tutte le funzioni possono essere definite pari o dispari. Alcune funzioni non sono né pari né dispari, come ad esempio: y=x²+x, y=tan(x-1),…
Inoltre, esiste un tipo speciale di funzione che è sia pari che dispari. Ad esempio, la funzione y=0
Anche la funzione
y = ax2 + bx + c se e solo se b = 0
Funzione quadratica
y = cosx
y = f(x)
Funzione dispari
y = ax + b se e solo se b = 0
y = ax3 + bx2 + cx + d se e solo se b = d = 0
y = senox; y = tangentex; y = cotx
Alcuni altri casi
F(x) è una funzione pari e ha una derivata sul suo dominio, allora la sua derivata è una funzione dispari.
F(x) è una funzione dispari e ha una derivata sul suo dominio, allora la sua derivata è una funzione pari.
Una funzione polinomiale di grado dispari non è una funzione pari.
Le funzioni polinomiali di grado pari non sono funzioni dispari.
Per determinare la funzione pari-dispari, eseguiamo i seguenti passaggi:
Passaggio 1: trova il dominio: D
Se ∀x ∈ D ⇒ -x ∈ D Vai al passaggio tre
Se ∃ x0 ∈ D ⇒ -x0 ∉ D, allora la funzione non è né pari né dispari.
Passaggio 2: sostituire x con -x e calcolare f(-x)
Passaggio 3: esaminare il segno (confrontare f(x) e f(-x)):
° Se f(-x) = f(x) allora la funzione f è pari
° Se f(-x) = -f(x) allora la funzione f è dispari
° Altri casi: la funzione f non ha parità
Lezione 4 pagina 39 Libro di testo di Algebra 10: Considerare le proprietà pari-dispari delle seguenti funzioni:
a) y = |x|;
b) y = (x + 2)2;
c) y = x3 + x;
d) y = x2 + x + 1.
Premio
a) Sia y = f(x) = |x|.
° TXĐ: D = R quindi per ∀x ∈ D allora –x ∈ D.
° f(–x) = |–x| = |x| = f(x).
→ Quindi la funzione y = |x| è una funzione pari.
b) Sia y = f(x) = (x + 2)2.
° TXĐ: D = R quindi per ∀x ∈ D allora –x ∈ D.
° f(–x) = (–x + 2)2 = (x – 2)2 ≠ (x + 2)2 = f(x)
° f(–x) = (–x + 2)2 = (x – 2)2 ≠ – (x + 2)2 = –f(x).
→ Quindi la funzione y = (x + 2)2 non è né pari né dispari.
c) Sia y = f(x) = x3 + x.
° TXĐ: D = R quindi per ∀x ∈ D allora –x ∈ D.
° f(–x) = (–x)3 + (–x) = –x3 – x = – (x3 + x) = –f(x)
→ Quindi y = x3 + x è una funzione dispari.
d) Sia y = f(x) = x2 + x + 1.
° TXĐ: D = R quindi per ∀x ∈ D allora –x ∈ D.
° f(–x) = (–x)2 + (–x) + 1 = x2 – x + 1 ≠ x2 + x + 1 = f(x)
° f(–x) = (–x)2 + (–x) + 1 = x2 – x + 1 ≠ –(x2 + x + 1) = –f(x)
→ Quindi la funzione y = x2 + x + 1 non è né pari né dispari.
Esiste una funzione definita su R che sia sia pari che dispari?
Premio:
È facile vedere che la funzione y = 0 è una funzione definita su R, sia pari che dispari.
Supponiamo che la funzione y = f (x) sia una qualsiasi funzione con tali proprietà. Quindi per ogni x in R abbiamo:
F (–x) = f (x) (perché f è una funzione pari);
F (–x) = – f (x) (perché f è una funzione dispari).
Da ciò possiamo dedurre che per ogni x in R, f(x)=−f(x), ovvero f(x)=0. Quindi y=0 è l'unica funzione definita su R, che è sia una funzione pari che dispari.
Domande frequenti sulle funzioni pari e dispari
Cosa sono le funzioni pari e dispari?
Se f(x) = f(−x) per tutti gli x nei loro domini, allora le funzioni pari sono simmetriche rispetto all'asse y. Le funzioni dispari sono simmetriche rispetto all'origine, il che significa che per tutti gli x nel loro dominio, f(−x) = −f(x).
Come sapere se una funzione è pari o dispari?
Una funzione è pari se f(-x) = f(x), ed è dispari se f(-x) = -f(x) per tutti gli elementi nel dominio di f. Se non soddisfa nessuna di queste proprietà, allora non è né pari né dispari.
Qual è la differenza tra funzioni periodiche pari e dispari?
Differenza tra funzioni periodiche pari e dispari: una funzione pari soddisfa f(−x) = f(x) per tutti gli x nel dominio, mentre una funzione dispari soddisfa f(−x) = −f(x).
Oltre alle funzioni pari e dispari, puoi apprendere altre importanti nozioni matematiche come i numeri quadrati , i numeri irrazionali, i numeri razionali , i numeri primi , i numeri naturali ... nella sezione Istruzione di Quantrimang.com.
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