Cos'è un blocco rotante? Come calcolare il volume di un solido di rotazione?
Un solido di rotazione è una forma creata dalla rotazione di un piano attorno a un asse fisso, come un cono di rotazione, un cilindro di rotazione, una sfera di rotazione, ecc. Di seguito è riportata la formula per calcolare il volume di un solido di rotazione, a cui fare riferimento.
Sommario
Se il blocco circolare ruota attorno all'asse del bue, è possibile applicare le seguenti formule per calcolare il volume del blocco circolare rotante:
Caso 1 : Blocco circolare rotante creato da:
Quindi, la formula per calcolare il volume è:
Caso 2 : Il blocco rotante è creato da:
Quindi la formula per calcolare il volume di un solido di rotazione sarà:
con
Se il blocco circolare ruota attorno all'asse Oy, è possibile applicare le seguenti formule per calcolare il volume del blocco circolare rotante:
Caso 1 : Il blocco rotante è creato da:
Quindi la formula per calcolare il volume di un solido di rotazione sarà:
Caso 2 : Il blocco rotante è creato da
Quindi il volume del solido di rotazione sarà:
con
Tabella riassuntiva delle formule per il calcolo del volume di un solido di rotazione:
1. Vx generato dall'area S che ruota attorno a Ox:
Ricetta :
2. Vx generato dall'area S che ruota attorno a Ox:
Ricetta :
Esempio 1:
Calcolare il volume del solido di rotazione ottenuto ruotando la figura piana limitata dalla curva y = sinx, dall'asse x e da due rette x=0, x=π (disegno) attorno all'asse Ox.
Soluzione
Applicando la formula del teorema sopra abbiamo
Esempio 2:
Calcola il volume del solido di rotazione ottenuto ruotando la figura piana delimitata dalla curva e dall'asse x attorno all'asse x.
Premio:
Vediamo:
Per tutti gli x, questa è quindi l'equazione di un semicerchio con centro O e raggio R = A giacente sopra l'asse Ox. Ruotando attorno all'asse del bue, la forma piatta formerà una sfera con centro O e raggio R = A (figura). Quindi abbiamo sempre
Quindi, con questo tipo di problema, non abbiamo bisogno di scrivere la formula di integrazione, ma possiamo trarre conclusioni basandoci sulla formula per calcolare il volume di una sfera.
Esempio 3:
Calcola il volume dell'oggetto compreso tra due piani x = 0 e x = 1, sapendo che la sezione trasversale dell'oggetto tagliata dal piano (P) perpendicolare all'asse Ox nel punto con ascissa x(0≤x≤1) è un rettangolo con due lati di lunghezza x e ln(x2+1).
Premio:
Poiché la sezione trasversale è rettangolare, l'area della sezione trasversale è:
Abbiamo il volume da calcolare come
Esempio 4: Data una figura piana delimitata dalle linee y = 3x; y = x; x = 0; x = 1 ruota attorno all'asse Ox. Calcolare il volume del solido di rotazione risultante.
Premio:
Le coordinate dell'intersezione della retta x = 1 con y = x e y = 3x sono i punti C(1;1) e B(3;1). Le coordinate dell'intersezione della linea y = 3x con y = x sono O(0;0).
Quindi il volume del solido rotante da calcolare è:
Esempio 5 : Data una figura piana delimitata dalle linee y = 2x2; y2 = 4x ruota attorno all'asse Ox. Calcolare il volume del solido di rotazione risultante.
Premio:
Con tempo equivalente. Le coordinate dell'intersezione della retta con sono i punti O(0;0) e A(1;2).
Quindi il volume del solido rotante da calcolare è:
Per i problemi che richiedono il calcolo del volume di un solido di rotazione, è sufficiente utilizzare la formula corretta per ogni caso e prestare attenzione quando si determina il limite per poterlo risolvere. Buona fortuna!
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