Un numero quadrato perfetto è un numero che è uguale al quadrato di un numero intero. Per comprendere meglio questo tipo di numeri, nell'articolo seguente approfondiremo le proprietà, il riconoscimento e il calcolo dei numeri quadrati.
Sommario
Un numero quadrato perfetto è un numero che è uguale al quadrato esatto di un numero intero. In parole povere, un numero quadrato perfetto è un numero naturale la cui radice quadrata è anch'essa un numero naturale.
Gli interi includono gli interi positivi (1, 2, 3,…), gli interi negativi (-1, -2, -3,…) e 0. L'insieme degli interi è indicato con Z.
Tuttavia, la radice quadrata di un numero quadrato ha solo valori naturali, cioè numeri interi positivi.
Per esempio:
Il numero 4 è un quadrato perfetto perché il quadrato del numero 2 è 4.
9 è un numero quadrato perfetto (perché 9 è uguale al quadrato di 3).
1. Guarda l'ultima cifra : l'ultima cifra di un numero quadrato perfetto è 0, 1, 4, 5, 6, 9. I numeri che terminano con 2, 3, 7, 8 non sono chiamati numeri quadrati perfetti.
2. Osserva l'ultima cifra: un numero quadrato perfetto può avere solo una delle due forme: 4n o 4n + 1, nessun numero quadrato perfetto ha la forma 4n + 2 o 4n + 3 (con n € N).
Ad esempio: supponiamo che n = 1, allora il numero al quadrato è nella forma 4 x n = 4. Oppure n = 2, allora il numero al quadrato è nella forma 4 x 2 + 1 = 9.
Non può essere nella forma 4 x 2 + 2 = 10 o 4 x 2 + 3 = 11.
3. La cifra delle decine di un numero quadrato perfetto è pari se l'ultima cifra è 1 o 9.
Ad esempio: il numero quadrato 81 (quadrato di 9).
4. La cifra delle decine di un numero quadrato perfetto che termina con 5 è 2.
Ad esempio: il numero quadrato 225 (quadrato di 15).
5. Se il numero quadrato perfetto termina con 4, la cifra delle decine è un numero pari.
Ad esempio: il numero quadrato 64 (quadrato di 8).
6. Se il numero quadrato termina con 6, la cifra delle decine è dispari.
Ad esempio: il numero quadrato 16 (quadrato di 4).
7. Scomposto in fattori primi, un numero quadrato perfetto contiene solo fattori primi con esponenti pari.
Ad esempio: il numero quadrato 16 = 2 x 2 x 2 x 2 = 2 ^ 4.
Un numero quadrato perfetto divisibile per un numero primo p sarà anche divisibile per p^2, e viceversa.
Il più piccolo numero quadrato perfetto nell'insieme dei numeri quadrati perfetti è 0. Nell'intervallo numerico da 0 a 100, ci sono 10 numeri quadrati perfetti inferiori a 100. Tra questi ci sono i numeri: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81.
Per esempio:
Ad esempio: il numero quadrato 18 è divisibile per 3, allora sarà divisibile anche per il quadrato di 3, che è 9.
Esistono 2 tipi di numeri quadrati:
| Numero quadrato pari | Numero quadrato dispari |
| Un numero quadrato perfetto è pari se e solo se è il quadrato di un numero intero pari. | Un numero quadrato perfetto è dispari se e solo se è il quadrato di un numero intero dispari. |
| Ad esempio, il numero 36 è un quadrato pari perché è il quadrato del numero 6 (un numero pari). | Ad esempio, il numero 25 è un quadrato pari perché è il quadrato del numero 5 (un numero dispari). |
I numeri 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, … sono tutti numeri quadrati perfetti.
4 = 2² è un numero quadrato pari.
9 = 3² è un numero quadrato dispari.
16 = 4² è un numero quadrato pari.
25 = 5² è un numero quadrato dispari.
36 = 6² è un numero quadrato pari.
49 = 7² è un numero quadrato dispari.
64 = 8² è un numero quadrato pari.
81 = 9² è un numero quadrato dispari.
100 = 10² è un numero quadrato pari.
Nota: anche i numeri 0 e 1 sono numeri quadrati.
Lezione 1 : Nella seguente serie di numeri, qual è un numero quadrato perfetto?: 9, 81, 790, 408, 121, 380, 2502, 441, 560.
Soluzione: I numeri quadrati perfetti sono 9 (3²), 81 (9²), 121 (11²), 441 (21²).
Lezione 2: Dimostrare che il numero 1234567890 non è un quadrato perfetto.
Soluzione: Il numero 1234567890 è divisibile per 5 (perché l'ultima cifra è 0) ma non per 25 (perché le ultime due cifre sono 90). Pertanto il numero 1234567890 non è un numero quadrato perfetto.
Lezione 3 : Dimostrare che il numero B = 4n^4 + 4n³ + n² è un quadrato perfetto per ogni numero intero positivo n.
Soluzione:
B = 4n^4 + 4n³ + n²= n²(4n² + 4n + 1)= n²(2n + 1)²
Vediamo che B può essere rappresentato come il prodotto di due quadrati. Oppure B = [n(2n+1)]², e n(2n + 1) è un numero intero. Quindi la conclusione è che B è un numero quadrato perfetto.
Lezione 4:
Trova un numero naturale n tale che il seguente numero sia un quadrato perfetto: B = n² + 4n + 1.
Soluzione:
Poiché il numero B è un quadrato perfetto, impostiamo n² + 4n + 1 = b²
= 4n²+16n+4=4b²
= (4n²+16n+16)-16+4=4b²
= (2n+4)²- 4b² = 12
= (2n+4+2b)x(2n+4-2b)=12
Si noti che 2n+4+2b è 2n+4-2b e che questi sono tutti numeri interi positivi. Possiamo quindi trovare le coppie di numeri corrispondenti: (12, 1), (6, 2) e (4, 3). Per trovare n e b è necessario considerare ogni caso. Nello specifico:
Ma n è un numero naturale, quindi solo le risposte n = 0, b = 1 sono soddisfacenti. E n = 0, quindi il numero quadrato B = 1.
Ci auguriamo che l'articolo sopra riportato abbia fornito informazioni utili per aiutarti a capire cos'è un numero quadrato perfetto, se 0 è un numero quadrato perfetto e quali sono le proprietà e le caratteristiche dei numeri quadrati perfetti. Da lì, avrai maggiori conoscenze per risolvere problemi e questioni sui numeri quadrati.
Oltre ai numeri quadrati, puoi imparare altri tipi di numeri in matematica, come i numeri misti , le frazioni ...
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