L'ortocentro di un triangolo è l'intersezione delle tre altezze , ovvero l'intersezione delle linee che vanno da ciascun vertice del triangolo al suo lato opposto forma un angolo retto. La lunghezza dell'altitudine è la distanza tra la cima e il fondo.
Ortocentro di un triangolo
Le tre altezze di un triangolo si incontrano in un punto. Quel punto è chiamato ortocentro del triangolo .
Nello specifico: Nel disegno sono presenti le altezze, l'ortocentro del triangolo.
Per determinare l'ortocentro di un triangolo, troviamo l'intersezione delle due altezze in quel triangolo.
Nota: a) Se il triangolo è acutangolo, l'ortocentro giace all'interno del triangolo.
b) Se il triangolo è rettangolo in allora l'ortocentro coincide con il punto .
c) Se un triangolo è ottuso, allora l'ortocentro giace all'esterno del triangolo.
Proprietà 1: In un triangolo equilatero, il baricentro, l'ortocentro, un punto equidistante dai tre vertici del triangolo, un punto interno al triangolo ed equidistante dai tre lati del triangolo sono quattro punti coincidenti.
Proprietà 2: L'ortocentro taglia la bisettrice perpendicolare di due lati in due segmenti di uguale lunghezza. Ciò significa che l'ortocentro è alla stessa distanza dai vertici del triangolo.
Proprietà 3: L'ortocentro è il centro del cerchio circoscritto a un triangolo, il che significa che se disegniamo un cerchio passante per i tre vertici di un triangolo, l'ortocentro sarà il centro di quel cerchio.
Proprietà 4: L'ortocentro di un triangolo acutangolo è interno al triangolo, mentre l'ortocentro di un triangolo ottusangolo è esterno al triangolo.
Proprietà 5: L'ortocentro di un triangolo rettangolo coincide con il vertice dell'angolo retto del triangolo rettangolo stesso.
Proprietà 6: L'ortocentro è l'unico punto di un triangolo tale che, se tracciamo delle linee dall'ortocentro ai vertici del triangolo, la somma delle lunghezze di tali linee è la più piccola. Ciò significa che l'ortocentro è il punto più vicino ai vertici del triangolo rispetto a qualsiasi altro.
Proprietà 7: L'ortocentro è anche il centro del cerchio circoscritto al triangolo, cioè il cerchio più grande che può essere tracciato passando per i tre vertici del triangolo.
Ad esempio: dato non quadrato. Chiamiamolo ortocentro. Mostra le altezze del triangolo. Da lì, indica l'ortocentro di quel triangolo.
Guida alle soluzioni
Illustrazione
Siano i piedi delle perpendicolari condotte da ΔABC.
Considerare ΔHBC con:
quindi AD è l'altezza da H a BC.
in F quindi BA è l'altitudine da B a HC
in E quindi CA è l'altezza da C a HB.
si intersecano in A quindi A è l'ortocentro di ΔHCB.
Ad esempio: dato un triangolo rettangolo con altezza . Sia il punto medio di , il punto medio di è . Determina l'ortocentro del triangolo.
Guida alle soluzioni
Consideriamo il sottoproblema se il triangolo ha e AC come punti medi rispettivamente, allora e .
Infatti, sul raggio opposto del raggio prendi un punto tale che
Consideriamo il triangolo AMN e il triangolo CPN.
(opposto)
, (due lati e due angoli corrispondenti)
Due angoli sono in posizioni alternate quindi
=>(due angoli interni alterni)
Consideriamo il triangolo BMC e il triangolo PCM.
(cmt)
MC è un bordo comune
, (lati e angoli corrispondenti)
Due angoli sono in posizioni alternate quindi
Abbiamo di nuovo
Consideriamo il triangolo HAB con:
(come dimostrato sopra)
Consideriamo il triangolo ADE.
d'altra parte e
è l'altezza del triangolo ADE
C è l'intersezione di AC e DC
=> C è l'ortocentro del triangolo ADE
Ad esempio: data una scala in A, l'altitudine interseca la mediana in . Dimostrare e calcolare?
Istruire
Illustrazione
Poiché il saldo è in A e AM è la mediana
⇒ AM è anche l'altitudine corrispondente a BC
presso M.
D'altra parte, e quindi K è l'ortocentro.
Pertanto, K appartiene all'altezza da C di ∆ABC.
Abbiamo:
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