Le definizioni e le formule dei numeri razionali e irrazionali sono nozioni importanti in matematica che gli studenti devono comprendere per avere solide basi matematiche. Il seguente articolo presenta la definizione, le proprietà e le forme matematiche dei numeri razionali e irrazionali. Si prega di fare riferimento ad esso.
Numeri razionali, numeri irrazionali
- I numeri razionali sono l'insieme dei numeri che possono essere scritti come frazioni (quozienti). Ciò significa che un numero razionale può essere rappresentato da un numero decimale periodico infinito.
- I numeri razionali si scrivono come , dove a e b sono numeri interi ma b deve essere diverso da 0.
- è l'insieme dei numeri razionali.
=> Insieme dei numeri razionali: .
Ad esempio: , , … sono numeri razionali.
Ad esempio: abbiamo numeri razionali.
Abbiamo:
Commento: sono tutti numeri razionali.
I numeri razionali si dividono in due tipi: numeri razionali negativi e numeri razionali positivi. Nello specifico:
Nota: il numero 0 non è né un numero razionale negativo né un numero razionale positivo.
Natura
- Per rappresentare i numeri razionali sulla retta numerica, seguiamo questi fattori:
Passaggio 1: scrivere il numero razionale come frazione
Fase 2: Dividere il segmento unitario in b parti uguali per ottenere un nuovo segmento unitario che è la vecchia unità.
Fase 3: Il numero razionale è rappresentato dal punto A, che dista una nuova unità dal punto 0.
Ad esempio: nella figura, il punto P rappresenta il numero razionale:
Istruire
Il segmento di linea unitaria è diviso in 6 parti uguali (la nuova unità è 1/6 della vecchia unità)
Il punto P si trova a una distanza di 7 nuove unità dal punto O.
E il punto P è a destra del punto O, quindi P è un numero razionale positivo.
Quindi P rappresenta un numero razionale.
i) Regole per l'addizione e la sottrazione di due numeri razionali
Possiamo sommare e sottrarre due numeri razionali x e y scrivendoli come due frazioni e applicando poi le regole per l'addizione e la sottrazione delle frazioni.
Con noi abbiamo:
ii) Proprietà
- L'addizione di numeri razionali ha le stesse proprietà dell'addizione di frazioni: commutativa, associativa, addizione con 0, addizione con opposti.
- Abbiamo:
a) Proprietà commutativa:
b) Proprietà associative:
c) Aggiungi 0:
d) Aggiungi il numero opposto:
iii, Regole di transizione
Quando spostiamo un termine da un lato all'altro di un'equazione, dobbiamo cambiare il segno di quel termine.
In Q abbiamo una somma algebrica, nella quale possiamo scambiare termini, inserire parentesi per raggruppare i termini in modo arbitrario, come le somme algebriche nell'insieme degli interi.
i) Regole per moltiplicare e dividere due numeri razionali
- Possiamo moltiplicare e dividere due numeri razionali scrivendoli come frazioni e poi applicando le regole per la moltiplicazione e la divisione delle frazioni.
Per esempio:
Moltiplicare i numeri razionali:
Dividi i numeri razionali:
ii) Proprietà
- Anche la moltiplicazione dei numeri razionali ha le stesse proprietà della moltiplicazione delle frazioni: commutativa, associativa, di moltiplicazione per 1 e distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione.
- Ogni numero razionale diverso da zero ha un inverso.
- Abbiamo:
- Il valore assoluto di un numero razionale a, indicato con , è la distanza dal punto a al punto 0 sulla retta numerica.
Per esempio:
(Perché )
(Perché )
- Con 2 numeri razionali qualsiasi abbiamo sempre o o o .
- Per confrontare due numeri razionali procediamo come segue:
Ad esempio: confronta due numeri razionali: e
Abbiamo:
Perché è buono.
Formule per calcolare le potenze dei numeri razionali che devi ricordare
Ad esempio: 3,145248… è un numero irrazionale.
L'insieme dei numeri irrazionali è un insieme non numerabile.
Per esempio:
Numeri irrazionali: 0,1010010001000010000010000001… (questo è un numero decimale infinito non periodico)
Numero di radici quadrate: √2 (radice quadrata)
Pi greco (π): 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50 288…..
Simboli di insiemi di numeri:
Abbiamo: R = Q ∪ I.
Imposta N; Z ; Q; R.
Quindi la relazione di inclusione tra gli insiemi di numeri è: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Modulo 1: eseguire calcoli che coinvolgono numeri razionali
Metodo di soluzione: per risolvere esercizi sull'esecuzione di calcoli relativi ai numeri razionali, convertire prima i numeri razionali in frazioni, quindi applicare le regole di calcolo con addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione dei numeri razionali.
Esempio: Calcola
Risposta:
Modulo 2: Rappresentazione dei numeri razionali sulla retta numerica
Soluzione: devi determinare se il numero razionale è un numero razionale positivo o un numero razionale negativo, quindi continuare con i passaggi successivi:
Modulo 3: Confronto tra numeri razionali
Soluzione: convertire i numeri razionali forniti in frazioni con lo stesso denominatore positivo, quindi confrontare i numeratori. Più avanti possiamo effettuare un confronto con le frazioni intermedie per trovare la risposta.
Modulo 4: Determina se un numero razionale è negativo, positivo o 0
Metodo di soluzione: per risolvere gli esercizi di tipo 4, gli studenti devono basarsi sulle proprietà dei numeri razionali per determinare se il numero razionale è negativo, positivo o 0.
Ad esempio: dato il numero razionale x = (a – 25)/29, determina il valore di a in modo che:
Risposta:
x è un numero negativo => (a – 25)/29 < 0=""> a – 25 < 0=""> a <>
x è un numero positivo => (a – 25)/29 > 0 => a – 25 > 0 => a > 25
x = 0 => (a – 25)/29 =0 0 => a – 25 = 0 => a = 25
Modulo 5: Trova i numeri razionali nell'intervallo secondo le condizioni date
Soluzione: se la domanda richiede di trovare numeri razionali all'interno di un intervallo secondo determinate condizioni, dobbiamo inserire i numeri razionali nello stesso numeratore o denominatore per trovare la risposta.
Esempio: trova il valore di m per maggiore e minore di
Guida alle risposte
Convertire le frazioni in denominatori comuni come segue:
Denominatore comune: 18
In base alla domanda che abbiamo:
Modulo 6: Trova x con numeri razionali
Metodo per risolvere problemi matematici: per trovare x con numeri razionali, è necessario eseguire la riduzione del denominatore comune e convertire x in un membro e i termini rimanenti in 1. Da lì calcolare il valore di x.
Ad esempio: trova x conoscendo x . (2/ 3) + 5/ 6 = 1/ 8
Risposta:
X . (2/ 3) + 5/ 6 = 1/ 8
=> x . (2/ 3) = 1/ 8 + 5/ 6
=> x = 46/ 48 : 2/ 3
=> x = 23 . 3 / 24 . 2
=> 23/16
Modulo 7: Trova a in modo che l'espressione sia un numero intero
Metodo per risolvere problemi matematici: per il problema di trovare a, se il numeratore non contiene a, dobbiamo usare il segno di divisibilità. Se il numeratore contiene a, utilizzare il segno di divisibilità o separare il numeratore dal denominatore. Se il problema richiede di trovare sia a che b contemporaneamente, raggruppa a o b e convertili in forma frazionaria per il calcolo.
Esempio: trova l'intero a con la condizione che 8/(a – 1) sia un intero
Risposta:
Condizione: a – 1 ≠ 0 => a ≠ 1
Sia a un numero intero => 8 è divisibile per (a – 1)
=> (a – 1) è un fattore di 8 => U(8) = {-8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8}
=> (a – 1) = {-8, -4, -2, -1, 2, 4, 8}
=> a = {-7, -3, -1, 0, 3, 5, 9}
Spero che l'articolo sopra riportato ti abbia aiutato a capire cosa sono i numeri razionali, cosa sono i numeri irrazionali, i tipi di numeri razionali, cosa sono i simboli dei numeri razionali e come riconoscere i numeri razionali per risolvere facilmente i problemi.
Oltre alle conoscenze sui numeri irrazionali e razionali di cui sopra, puoi fare riferimento ad altre conoscenze matematiche come frazioni , numeri misti , decimali ...
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