Che cosè un numero razionale? Che cosa è un numero irrazionale?

Le definizioni e le formule dei numeri razionali e irrazionali sono nozioni importanti in matematica che gli studenti devono comprendere per avere solide basi matematiche. Il seguente articolo presenta la definizione, le proprietà e le forme matematiche dei numeri razionali e irrazionali. Si prega di fare riferimento ad esso.

Numeri razionali, numeri irrazionali

• Che cos'è un numero razionale?
  • Classificazione dei numeri razionali
  • Rappresentazione dei numeri razionali su una retta numerica
  • Aggiungere e sottrarre numeri razionali
  • Moltiplicare e dividere i numeri razionali
  • Valore assoluto di un numero razionale
  • Confronta due numeri razionali
  • Formula per calcolare la potenza di un numero razionale
• Che cosa è un numero irrazionale?
  • Concetto di numeri irrazionali
  • Proprietà dei numeri irrazionali
• Qual è la differenza tra numeri razionali e irrazionali?
• Relazione tra insiemi di numeri
• Esercizi sui numeri razionali

Che cos'è un numero razionale?

- I numeri razionali sono l'insieme dei numeri che possono essere scritti come frazioni (quozienti). Ciò significa che un numero razionale può essere rappresentato da un numero decimale periodico infinito.

- I numeri razionali si scrivono come , dove a e b sono numeri interi ma b deve essere diverso da 0.

- è l'insieme dei numeri razionali.

=> Insieme dei numeri razionali: .

Ad esempio: , , … sono numeri razionali.

• Ogni numero intero a è un numero razionale perché può essere scritto nella forma .

Ad esempio: abbiamo numeri razionali.

Abbiamo:

Commento: sono tutti numeri razionali.

Classificazione dei numeri razionali

I numeri razionali si dividono in due tipi: numeri razionali negativi e numeri razionali positivi. Nello specifico:

• Numeri razionali negativi: includono i numeri razionali minori di 0.
• Numeri razionali positivi: includono i numeri razionali maggiori di 0.

Nota: il numero 0 non è né un numero razionale negativo né un numero razionale positivo.

Natura

• L'insieme dei numeri razionali è un insieme numerabile.
• Proprietà commutativa:
• Proprietà di addizione con 0:
• Proprietà combinate:

Rappresentazione dei numeri razionali su una retta numerica

- Per rappresentare i numeri razionali sulla retta numerica, seguiamo questi fattori:

Passaggio 1: scrivere il numero razionale come frazione

Fase 2: Dividere il segmento unitario in b parti uguali per ottenere un nuovo segmento unitario che è la vecchia unità.

Fase 3: Il numero razionale è rappresentato dal punto A, che dista una nuova unità dal punto 0.

• A è a sinistra di 0 se è un numero negativo.
• A è a destra di 0 se è un numero positivo.

Ad esempio: nella figura, il punto P rappresenta il numero razionale:

Istruire

Il segmento di linea unitaria è diviso in 6 parti uguali (la nuova unità è 1/6 della vecchia unità)

Il punto P si trova a una distanza di 7 nuove unità dal punto O.

E il punto P è a destra del punto O, quindi P è un numero razionale positivo.

Quindi P rappresenta un numero razionale.

Aggiungere e sottrarre numeri razionali

i) Regole per l'addizione e la sottrazione di due numeri razionali

Possiamo sommare e sottrarre due numeri razionali x e y scrivendoli come due frazioni e applicando poi le regole per l'addizione e la sottrazione delle frazioni.

Con noi abbiamo:

ii) Proprietà

- L'addizione di numeri razionali ha le stesse proprietà dell'addizione di frazioni: commutativa, associativa, addizione con 0, addizione con opposti.

- Abbiamo:

a) Proprietà commutativa:

b) Proprietà associative:

c) Aggiungi 0:

d) Aggiungi il numero opposto:

iii, Regole di transizione

Quando spostiamo un termine da un lato all'altro di un'equazione, dobbiamo cambiare il segno di quel termine.

In Q abbiamo una somma algebrica, nella quale possiamo scambiare termini, inserire parentesi per raggruppare i termini in modo arbitrario, come le somme algebriche nell'insieme degli interi.

• Con se allora
• Con noi abbiamo:

Moltiplicare e dividere i numeri razionali

i) Regole per moltiplicare e dividere due numeri razionali

- Possiamo moltiplicare e dividere due numeri razionali scrivendoli come frazioni e poi applicando le regole per la moltiplicazione e la divisione delle frazioni.

• Con noi abbiamo:
• Con noi abbiamo:

Per esempio:

Moltiplicare i numeri razionali: 

Dividi i numeri razionali: 

ii) Proprietà

- Anche la moltiplicazione dei numeri razionali ha le stesse proprietà della moltiplicazione delle frazioni: commutativa, associativa, di moltiplicazione per 1 e distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione.

- Ogni numero razionale diverso da zero ha un inverso.

- Abbiamo:

• Proprietà commutativa: .
• Proprietà associative: .
• Proprietà della moltiplicazione per 1: .
• Proprietà distributive: .
• Con . Il reciproco di a è .

Valore assoluto di un numero razionale

- Il valore assoluto di un numero razionale a, indicato con , è la distanza dal punto a al punto 0 sulla retta numerica.

Per esempio:

(Perché )

(Perché )

Confronta due numeri razionali

- Con 2 numeri razionali qualsiasi abbiamo sempre o o o .

- Per confrontare due numeri razionali procediamo come segue:

• Scrivi come 2 frazioni con lo stesso denominatore positivo:
• Confronta i numeratori come numeri interi a, b:

Ad esempio: confronta due numeri razionali: e

Abbiamo:

Perché è buono.

Formula per calcolare la potenza di un numero razionale

Formule per calcolare le potenze dei numeri razionali che devi ricordare

• Prodotto di due potenze con la stessa base:
• Potere del potere
• Potenza di un prodotto
• Potenza di un quoziente

Che cosa è un numero irrazionale?

Concetto di numeri irrazionali

• Quando si parla di numeri razionali, non si può fare a meno di menzionare anche i numeri irrazionali. Si tratta di numeri scritti sotto forma di decimali infiniti e non periodici, indicati con .
• I numeri reali che non sono numeri razionali non possono essere rappresentati come rapporti.

Ad esempio: 3,145248… è un numero irrazionale.

Proprietà dei numeri irrazionali

L'insieme dei numeri irrazionali è un insieme non numerabile.

Per esempio:

Numeri irrazionali: 0,1010010001000010000010000001… (questo è un numero decimale infinito non periodico)

Numero di radici quadrate: √2 (radice quadrata)

Pi greco (π): 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50 288…..

Qual è la differenza tra numeri razionali e irrazionali?

• I numeri razionali includono decimali ricorrenti non terminanti, mentre i numeri irrazionali sono decimali non terminanti e non ricorrenti.
• I numeri razionali sono semplicemente frazioni, mentre i numeri irrazionali sono formati da molti tipi diversi di numeri.
• I numeri razionali sono numeri numerabili, mentre i numeri irrazionali sono numeri non numerabili.

Relazione tra insiemi di numeri

Simboli di insiemi di numeri:

• N: Insieme dei numeri naturali
• N*: Insieme dei numeri naturali diversi da 0
• Z: Insieme degli interi
• D: L'insieme dei numeri razionali
• I: Insieme dei numeri irrazionali

Abbiamo: R = Q ∪ I.

Imposta N; Z ; Q; R.

Quindi la relazione di inclusione tra gli insiemi di numeri è: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Esercizi sui numeri razionali

Modulo 1: eseguire calcoli che coinvolgono numeri razionali

Metodo di soluzione: per risolvere esercizi sull'esecuzione di calcoli relativi ai numeri razionali, convertire prima i numeri razionali in frazioni, quindi applicare le regole di calcolo con addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione dei numeri razionali.

Esempio: Calcola  

Risposta:

Modulo 2: Rappresentazione dei numeri razionali sulla retta numerica

Soluzione: devi determinare se il numero razionale è un numero razionale positivo o un numero razionale negativo, quindi continuare con i passaggi successivi:

• Se il numero razionale a/b è un numero razionale positivo: sulla retta numerica, nella direzione positiva, dividi la lunghezza di 1 unità in b parti uguali. Quindi prendi un punto sulla direzione positiva dell'asse del Bue, punta una parte e determina la posizione del numero razionale a/b.
• Se il numero razionale a/b è un numero razionale negativo: sulla retta numerica, nella direzione negativa dell'asse, dividi la lunghezza di 1 unità in b parti uguali. Quindi prendi un punto sulla direzione negativa dell'asse del Bue, punta una parte e determina la posizione del numero razionale a/b.

Modulo 3: Confronto tra numeri razionali

Soluzione: convertire i numeri razionali forniti in frazioni con lo stesso denominatore positivo, quindi confrontare i numeratori. Più avanti possiamo effettuare un confronto con le frazioni intermedie per trovare la risposta.

Modulo 4: Determina se un numero razionale è negativo, positivo o 0

Metodo di soluzione: per risolvere gli esercizi di tipo 4, gli studenti devono basarsi sulle proprietà dei numeri razionali per determinare se il numero razionale è negativo, positivo o 0.

Ad esempio: dato il numero razionale x = (a – 25)/29, determina il valore di a in modo che:

• x è negativo
• x è positivo
• x = 0

Risposta:

x è un numero negativo => (a – 25)/29 < 0=""> a – 25 < 0=""> a <>

x è un numero positivo => (a – 25)/29 > 0 => a – 25 > 0 => a > 25

x = 0 => (a – 25)/29 =0 0 => a – 25 = 0 => a = 25

Modulo 5: Trova i numeri razionali nell'intervallo secondo le condizioni date

Soluzione: se la domanda richiede di trovare numeri razionali all'interno di un intervallo secondo determinate condizioni, dobbiamo inserire i numeri razionali nello stesso numeratore o denominatore per trovare la risposta.

Esempio: trova il valore di m per maggiore e minore di

Guida alle risposte

Convertire le frazioni in denominatori comuni come segue:

Denominatore comune: 18

In base alla domanda che abbiamo:

Modulo 6: Trova x con numeri razionali

Metodo per risolvere problemi matematici: per trovare x con numeri razionali, è necessario eseguire la riduzione del denominatore comune e convertire x in un membro e i termini rimanenti in 1. Da lì calcolare il valore di x.

Ad esempio: trova x conoscendo x . (2/ 3) + 5/ 6 = 1/ 8

Risposta:

X . (2/ 3) + 5/ 6 = 1/ 8

=> x . (2/ 3) = 1/ 8 + 5/ 6

=> x = 46/ 48 : 2/ 3

=> x = 23 . 3 / 24 . 2

=> 23/16

Modulo 7: Trova a in modo che l'espressione sia un numero intero

Metodo per risolvere problemi matematici: per il problema di trovare a, se il numeratore non contiene a, dobbiamo usare il segno di divisibilità. Se il numeratore contiene a, utilizzare il segno di divisibilità o separare il numeratore dal denominatore. Se il problema richiede di trovare sia a che b contemporaneamente, raggruppa a o b e convertili in forma frazionaria per il calcolo.

Esempio: trova l'intero a con la condizione che 8/(a – 1) sia un intero

Risposta:

Condizione: a – 1 ≠ 0 => a ≠ 1

Sia a un numero intero => 8 è divisibile per (a – 1)

=> (a – 1) è un fattore di 8 => U(8) = {-8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8}

=> (a – 1) = {-8, -4, -2, -1, 2, 4, 8}

=> a = {-7, -3, -1, 0, 3, 5, 9}

Spero che l'articolo sopra riportato ti abbia aiutato a capire cosa sono i numeri razionali, cosa sono i numeri irrazionali, i tipi di numeri razionali, cosa sono i simboli dei numeri razionali e come riconoscere i numeri razionali per risolvere facilmente i problemi.

Oltre alle conoscenze sui numeri irrazionali e razionali di cui sopra, puoi fare riferimento ad altre conoscenze matematiche come frazioni , numeri misti , decimali ...